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所在地區(qū)：安徽合肥市
聯(lián)系人：余宗濤 （銷(xiāo)售經(jīng)理）
閱讀：4發(fā)布時(shí)間：2024-12-17
傅里葉級(jí)數(shù)的幾何意義–巧妙記憶公式的方法最近我在重新學(xué)習(xí)偏微分方程的時(shí)候又遇到傅里葉級(jí)數(shù)了我曾經(jīng)覺(jué)得這個(gè)公式非常繁瑣用到的時(shí)候就去翻書(shū)查看沒(méi)法自己信心滿滿的寫(xiě)出來(lái)現(xiàn)在我找到訣竅了可以不需要任何參考書(shū)給我一個(gè)周期函數(shù)我可以馬上寫(xiě)出它的傅里葉級(jí)數(shù)訣竅就在于從幾何的角度來(lái)看待傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)我們把一個(gè)周期函數(shù)表達(dá)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)其實(shí)我們只是在做一個(gè)動(dòng)作那就是把函數(shù)投影到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)軸上1什么是投影我們先來(lái)復(fù)習(xí)什么是投影吧考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二維平面的例子如下圖所示給定兩個(gè)向量u和v我們從u的末端出發(fā)作到v所在直線的垂線得到一個(gè)跟v同向的新向量p這個(gè)過(guò)程就稱(chēng)作u到v所在直線的投影得到的新向量p就是u沿v方向的分量圖中的系數(shù)c是p跟v的比例也就是u在v軸上的坐標(biāo)我們可以用尺規(guī)作圖來(lái)完成投影這個(gè)動(dòng)作問(wèn)題關(guān)于同位角,內(nèi)錯(cuò)角高級(jí)傅里葉公式高級(jí)傅里葉公式,同旁?xún)?nèi)角的題財(cái)稅[2014]109號(hào) 關(guān)于促進(jìn)企業(yè)重組有關(guān)企業(yè)所得稅處理問(wèn)題的國(guó)土資發(fā)[2016]191號(hào)關(guān)于進(jìn)一步加快宅基地和集體建設(shè)用地確權(quán)登記發(fā)證有關(guān)問(wèn)題的快遞公司問(wèn)題件快遞公司問(wèn)題件貨款處理是如果給定的向量u和v都是代數(shù)形式的我們?cè)趺从么鷶?shù)的方法求c我相信只要有基本線性代數(shù)知識(shí)的同學(xué)都可以輕松解決這個(gè)問(wèn)題我們知道u-cv這個(gè)向量是正交于v的用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是u-cvTv0我們馬上就可以得到c的表達(dá)式如下12向量在一組正交基上的展開(kāi)在講傅里葉級(jí)數(shù)之前我們還需引進(jìn)線性代數(shù)中正交基的概念如果這個(gè)概念你覺(jué)得陌生就把它想成是互相垂直的坐標(biāo)軸回到剛才這個(gè)例子如下圖所示現(xiàn)在我們引進(jìn)一組正交基v1v2那么u可以展開(kāi)成以下形式2從圖上來(lái)看2式其實(shí)說(shuō)的是我們可以把u投影到v1和v2這兩個(gè)坐標(biāo)軸上c1和c2就是u的新坐標(biāo)問(wèn)題是我們?cè)趺辞骳1和c2呢你會(huì)說(shuō)我們可以2式兩邊同時(shí)乘以v1或v2然后利用它們正交的性質(zhì)來(lái)求c1c2沒(méi)錯(cuò)數(shù)學(xué)上是這么做的但是利用之前關(guān)于投影的討論我們可以直接得出答案直接利用1式就可以得到如下的表達(dá)式33傅里葉級(jí)數(shù)的幾何意義現(xiàn)在我們已經(jīng)明白一件事情了如果想把一個(gè)向量在一組正交基上展開(kāi)也就是找到這個(gè)向量沿每條新坐標(biāo)軸的坐標(biāo)那么我們只要把它分別投影到每條坐標(biāo)軸上就好了也就是把1式中的v換成新坐標(biāo)軸就好了說(shuō)了半天這些東西跟傅里葉級(jí)數(shù)有什么關(guān)系我們先回憶一下傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式給定一個(gè)周期是2l的周期函數(shù)fx它的傅里葉級(jí)數(shù)為4其中系數(shù)表達(dá)式如下5我不喜歡
記憶這些公式有辦法可以更好的理解他們來(lái)幫助記憶嗎答案是有的那就是從幾何的角度來(lái)看傅里葉告訴我們fx可以用下面這組由無(wú)限多個(gè)三角函數(shù)包括常數(shù)組成的正交基來(lái)展開(kāi)6這里我們需要在廣義上來(lái)理解正交我們說(shuō)兩個(gè)向量或兩個(gè)函數(shù)之間是正交的意思是它們的內(nèi)積innerproduct為零內(nèi)積在有限維的向量空間中的形式為點(diǎn)積dotproduct在無(wú)限維的函數(shù)空間中對(duì)于定義在區(qū)間[ab]上的兩個(gè)實(shí)函數(shù)uxvx來(lái)說(shuō)它們的內(nèi)積定義為7正交基6中的每個(gè)函數(shù)都可以看做是一條獨(dú)立的坐標(biāo)軸從幾何角度來(lái)看傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)其實(shí)只是在做一個(gè)動(dòng)作那就是把函數(shù)投影到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)軸上上面5式中的系數(shù)則是函數(shù)在每條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)現(xiàn)在的問(wèn)題是我們不能直接用1式來(lái)求這些坐標(biāo)了因?yàn)樗贿m用于有限維的向量空間在無(wú)限維的函數(shù)空間我們需要把1式中分子分母的點(diǎn)積分別替換成7式那么5式中的所有系數(shù)馬上可以輕松的寫(xiě)出8值得注意的是8式中所有積分可以在任意一個(gè)長(zhǎng)度是2l的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行也就是說(shuō)不管是[-ll]還是[02l]答案都是一樣的有同學(xué)會(huì)說(shuō)老師上課教的是對(duì)4式兩邊乘以1cosnπxl或sinnπxl然后積分利用這些函數(shù)之間的正交性來(lái)得到5式這些當(dāng)然是對(duì)的而且我們應(yīng)該學(xué)會(huì)這種推導(dǎo)來(lái)加深對(duì)正交性的理解但是在應(yīng)用上我更喜歡用幾何的角度來(lái)看傅里葉級(jí)數(shù)把函數(shù)看成是無(wú)限維的向量把傅里葉級(jí)數(shù)跟幾何中極其簡(jiǎn)單的投影的概念聯(lián)系起來(lái)這樣學(xué)習(xí)新知識(shí)就變得簡(jiǎn)單了而且可以毫無(wú)障礙的把公式記住甚至一輩子都難忘熟悉傅里葉級(jí)數(shù)的同學(xué)會(huì)問(wèn)那么對(duì)于復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)我們是否也能用幾何投影的觀點(diǎn)來(lái)看然后寫(xiě)出級(jí)數(shù)中的所有系數(shù)呢答案是肯定的給定一個(gè)周期是2l的周期函數(shù)fx它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為9其中系數(shù)表達(dá)式如下10這意味著我們用了下面這組正交基來(lái)展開(kāi)原函數(shù)11我們之前提到了兩個(gè)函數(shù)正交意思是它們的內(nèi)積為零對(duì)于定義在區(qū)間[ab]上的兩個(gè)復(fù)函數(shù)uxvx來(lái)說(shuō)它們的內(nèi)積定義為12其中v加上劃線意思是它的共軛10中指數(shù)函數(shù)里的負(fù)號(hào)就是因?yàn)槿×斯曹椀年P(guān)系現(xiàn)在我們同樣可以把原函數(shù)分別投影到11中的每個(gè)函數(shù)所
在的坐標(biāo)軸來(lái)求出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)也就是系數(shù)cn13這里我想強(qiáng)調(diào)一下這個(gè)正交基的重要性在一個(gè)有限維的向量空間給定任何向量都可以被一組基展開(kāi)它可以不必是正交的這個(gè)時(shí)候展開(kāi)項(xiàng)中的系數(shù)也就是沿這組基中任一坐標(biāo)軸的坐標(biāo)需要求解一個(gè)線性方程組來(lái)得到只有當(dāng)這組基是正交的時(shí)候這些系數(shù)才能從給定向量往各坐標(biāo)軸上投影得出也就是1式同樣的在無(wú)限維的函數(shù)空間我們可以把一個(gè)函數(shù)在某個(gè)基中展開(kāi)但是只有在正交基中展開(kāi)項(xiàng)中的系數(shù)才能看成是函數(shù)投影的結(jié)果最后做一個(gè)總結(jié)不管是向量u還是函數(shù)u他們都可以被一組正交基vnn1N有限個(gè)向量或vnn1∞無(wú)限個(gè)函數(shù)展開(kāi)如下14上式中的cn代表u在vn所在的坐標(biāo)軸上投影產(chǎn)生的坐標(biāo)而14式中內(nèi)積的定義視情況而定在有限維的向量空間實(shí)數(shù)域向量u和v的內(nèi)積是點(diǎn)積uTv在無(wú)限維的函數(shù)空間函數(shù)ux和vx的內(nèi)積的通用形式是12如果它們是實(shí)函數(shù)那么12就可以簡(jiǎn)化成7的形式我們可以看到用幾何投影的觀點(diǎn)來(lái)看待傅里葉級(jí)數(shù)理解變得更加容易因?yàn)槲蚁嘈潘腥硕寄芾斫馔队暗母拍钔瑫r(shí)傅里葉級(jí)數(shù)所有的公式都可以輕松的記住想要遺忘都難了我們?cè)趯W(xué)習(xí)不同學(xué)科的時(shí)候可以經(jīng)常的去做聯(lián)系嘗試著用不同的角度去看待同一個(gè)問(wèn)題我相信這么做是很有好處的后記寫(xiě)于2013年3月28號(hào)這篇文章的核心思想其實(shí)是來(lái)自MIT的教授GilbertStrang寫(xiě)的《IntroductiontoLinearAlgebra》這本書(shū)第三版我在好幾個(gè)月前重新學(xué)了一遍線性代數(shù)就是看MIT的開(kāi)放課程授課老師是Gilbert他用的書(shū)就是上面提到這本我從沒(méi)有如此享受過(guò)數(shù)學(xué)課以前學(xué)的數(shù)學(xué)課似乎老師更注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算和推導(dǎo)而不是討論數(shù)學(xué)背后的本質(zhì)Gilbert的講課方式講究原理也就是"why而不是"how同時(shí)也有非常有趣的應(yīng)用有興趣的同學(xué)可以去聽(tīng)聽(tīng)這門(mén)課對(duì)于這篇文章提到的從幾何觀點(diǎn)來(lái)看傅里葉級(jí)數(shù)的思想相關(guān)內(nèi)容可以在書(shū)本最后關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的討論中找到值得注意的是Gilbert默認(rèn)函數(shù)周期是2PI而且沒(méi)有涉及復(fù)數(shù)形式這篇文章主要是把幾何投影與傅里葉級(jí)數(shù)的概念整合在了一起考慮了一般的周期函數(shù)同時(shí)涉及了傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式希望能對(duì)一些朋友有所幫助
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