【儀表網(wǎng) 研發(fā)快訊】日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組，在非線性全局同步和拓?fù)潆娐费芯糠矫嫒〉弥匾M(jìn)展。相關(guān)工作以“Non-Hermitian global synchronization” 為題發(fā)表在Advanced Science [Adv. Sci. 2408460 (2024)]上。北京理工大學(xué)物理學(xué)院張蔚暄研究員和2022級(jí)博士生邸鳳瀟為論文的共同第一作者，張向東教授為通訊作者。研究工作得到國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃、 國(guó)家自然科學(xué)基金和北京市自然科學(xué)基金的大力資助。
 

　　同步的研究最早可以追溯到十七世紀(jì)荷蘭科學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)的相互作用雙鐘擺模型，即掛在同一根橫梁上的兩個(gè)鐘擺會(huì)朝著相反的方向同頻率擺動(dòng)。自惠更斯發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象以來(lái)，人們?cè)陔姎夤こ?、無(wú)線電技術(shù)、生物學(xué)和聲學(xué)等不同領(lǐng)域也發(fā)現(xiàn)了各種同步效應(yīng)。從小尺寸的微粒間同步和微納振蕩器同步，到距離千米的光機(jī)械系統(tǒng)的同步。從復(fù)雜生物系統(tǒng)的耦合生物光素同步，到尋常生日蛋糕上蠟燭火焰的同步。從稻田里的青蛙和樹(shù)上的知了同步鳴叫，到展現(xiàn)集體行為學(xué)的蜜蜂群體螺旋波等。
 

　　為了深入理解同步現(xiàn)象，科學(xué)家對(duì)多種同步模型進(jìn)行了深入研究。在沒(méi)有主動(dòng)驅(qū)動(dòng)的情況下，由非線性引起的耦合自治振子的同步效應(yīng)引起了廣泛關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，耦合非線性振子的同步效應(yīng)會(huì)顯著受到振子間的耦合方式、耦合強(qiáng)度以及固有頻率分布的影響，使非線性同步在實(shí)際應(yīng)用中容易遭到結(jié)構(gòu)無(wú)序和缺陷的破壞。同時(shí)，耦合非線性振子的同步效應(yīng)對(duì)初始條件非常敏感，需要對(duì)其進(jìn)行精細(xì)控制。因此，設(shè)計(jì)魯棒的新型耦合非線性振子模型，構(gòu)建穩(wěn)定的同步效應(yīng)具有重要意義。
 

　　研究亮點(diǎn)一：理論揭示反常的非厄米趨膚全局同步效應(yīng)
 

　　針對(duì)上述問(wèn)題，研究人員對(duì)非互易耦合Stuart-Landau振子模型(圖1a)進(jìn)行了系統(tǒng)性研究。線性非互易耦合與1D Hatano-Nelson鏈相對(duì)應(yīng)。Stuart-Landau振子的動(dòng)力學(xué)方程為
 

　　。研究人員對(duì)上百種隨機(jī)初始條件下，系統(tǒng)的時(shí)域演化特性進(jìn)行了計(jì)算。發(fā)現(xiàn)無(wú)論初始條件如何設(shè)置，系統(tǒng)都會(huì)演化到反相同步態(tài)或同相同步態(tài)之一，如圖1(b1)和(b2)所示。通過(guò)穩(wěn)定性分析可知，兩種同步態(tài)都具有非線性穩(wěn)定性，對(duì)應(yīng)于非線性極限環(huán)。有趣的是，兩種非線性同步態(tài)的空間分布(圖1(e1)和1(e2))與Hatano-Nelson鏈的兩個(gè)最小局域非厄米趨膚態(tài)(由IPR量化，圖1(c1))的空間分布完全一致(歸一化因子為11.5)。另外，反相和同相非線性同步態(tài)的頻率(圖1(d1)和1(d2))也與最小局域非厄米趨膚態(tài)的本征相對(duì)應(yīng)。這些結(jié)果顯示，在弱非線性條件下 (β|Zl (t)|2?J+,J-)，系統(tǒng)可以展現(xiàn)由非厄米線性趨膚態(tài)統(tǒng)治的全局同步效應(yīng)，即非厄米-線性全局趨膚同步。這一現(xiàn)象是由非厄米趨膚態(tài)的非正交性和非厄米趨膚極限環(huán)共同導(dǎo)致的。
 

　　為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非厄米趨膚全局同步的影響，研究人對(duì)Kuramoto序參量進(jìn)行了擴(kuò)展，定義了新的序參量Ro來(lái)量化系統(tǒng)的同步特性。其中，同相和反相非厄米全局同步態(tài)的序參量都具有趨于0。通過(guò)計(jì)算序參量隨非互易耦合強(qiáng)度的變化(圖1f)可知，非厄米線性趨膚同步效應(yīng)只能存在于0.25≤J-≤1.2(J+=1.5)的區(qū)間內(nèi)。這是由非厄米趨膚態(tài)的非正交性與弱非線性條件(β|Zl(t)|2?J+,J-)的平衡所導(dǎo)致的。此外，非厄米趨膚全局同步也可以展示尺寸依賴的臨界行為。圖1g展示了序參量隨系統(tǒng)尺寸N的變化曲線。在N≤7的區(qū)域，由于非厄米趨膚態(tài)較弱的非正交性，系統(tǒng)展現(xiàn)多頻振蕩。隨著尺寸的增加738時(shí)，系統(tǒng)的弱非線性近似被破壞，非線性本征態(tài)主導(dǎo)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)尺寸增大到N>45時(shí)，由非線性-非厄米趨膚態(tài)統(tǒng)治的全局同步效應(yīng)出現(xiàn)，即非厄米-非線性全局趨膚同步。上面結(jié)果顯示，通過(guò)增加非厄米-非線性系統(tǒng)的尺寸，可以展現(xiàn)線性或非線性非厄米全局趨膚同步效應(yīng)，這一反?，F(xiàn)象與傳統(tǒng)同步模型相反。發(fā)生這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因是：線性和非線性趨膚態(tài)的非正交性會(huì)隨著系統(tǒng)尺寸的增大而增強(qiáng)。
 

　　另外，研究人員發(fā)現(xiàn)，非厄米趨膚全局同步效應(yīng)也可以在具有互易耦合的增益損耗系統(tǒng)中存在，進(jìn)一步證明了非厄米趨膚全局同步的普適性。
 

圖1. 非厄米趨膚全局同步的理論結(jié)果。
 

　　研究亮點(diǎn)二：理論揭示非厄米拓?fù)淙滞叫?yīng)
 

　　除了非厄米趨膚全局同步效應(yīng)，研究人員進(jìn)一步對(duì)基于1D非厄米SSH鏈的耦合非線性振子模型(圖2a)進(jìn)行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)拓?fù)溥吔鐟B(tài)的空間分布和局域強(qiáng)度，可以使系統(tǒng)展現(xiàn)多種非厄米同步效應(yīng)。當(dāng)拓?fù)溥吔鐟B(tài)與非厄米趨膚態(tài)局域在同一邊界時(shí)，系統(tǒng)可以展現(xiàn)非厄米-線性趨膚全局同步(圖2b，2f所示，同步趨膚態(tài)的局域化程度(IPR)比拓?fù)鋺B(tài)更小)，非厄米-非線性趨膚全局同步(圖2c，2g，拓?fù)鋺B(tài)和趨膚態(tài)的IPR接近)和非厄米拓?fù)淙滞?圖2d，2h，拓?fù)鋺B(tài)的IPR最小)。另外，當(dāng)拓?fù)溥吔鐟B(tài)與非厄米趨膚態(tài)局域在相反邊界時(shí)，系統(tǒng)兩邊界附近的非線性振子分別展現(xiàn)由線性趨膚態(tài)和拓?fù)鋺B(tài)主導(dǎo)的同步效應(yīng)，即非厄米趨膚-拓?fù)渫酱?圖2e，2i)。最后，研究人員進(jìn)一步計(jì)算了序參量隨包間耦合強(qiáng)度以及晶格長(zhǎng)度的變化關(guān)系，揭示了上述非厄米全局同步效應(yīng)間的轉(zhuǎn)變規(guī)律，如圖2j和2k所示。
 

圖2. 非厄米拓?fù)淙滞降睦碚摻Y(jié)果。
 

　　研究亮點(diǎn)三：基于非厄米-非線性拓?fù)潆娐返膶?shí)驗(yàn)觀測(cè)
 

　　為了對(duì)上述理論預(yù)言進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明，研究人員設(shè)計(jì)并制備了兩種非厄米-非線性拓?fù)潆娐?圖3a-3b和圖4a-4b所示)，使其電壓動(dòng)力學(xué)演化方程與圖1a和2a中的耦合非線性振子模型的時(shí)域薛定諤方程在數(shù)學(xué)形式上完全一致。進(jìn)而通過(guò)對(duì)電路電壓演化特性的測(cè)量，實(shí)現(xiàn)了對(duì)上述非厄米趨膚全局同步(圖3c-3h)以及非厄米拓?fù)淙滞?圖4c-3h)的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)。
 

圖3. 非厄米線性趨膚同步電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
 

圖4. 非厄米拓?fù)渫诫娐穼?shí)驗(yàn)結(jié)果。
 

　　該工作首次揭示了具有反常特性的非厄米趨膚全局同步和非厄米拓?fù)淙滞叫?yīng)。設(shè)計(jì)并制備了兩種非厄米-非線性拓?fù)潆娐罚瑢?shí)現(xiàn)了對(duì)非厄米趨膚全局同步以及非厄米拓?fù)淙滞降膶?shí)驗(yàn)證明。與傳統(tǒng)厄米同步系統(tǒng)不同，非厄米全局同步具有初態(tài)魯棒性，結(jié)構(gòu)擾動(dòng)魯棒性，同步模式可調(diào)性以及尺度可拓展性等獨(dú)特性質(zhì)。這些特點(diǎn)使其在眾多非線性同步系統(tǒng)中，具有潛在的應(yīng)用前景。